Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2a}{x}$（x＞0），a∈R．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值；
（2）若函數(shù)h（x）=xf（x）-6x²+9的極小值不大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（2）求出h（x）的表達(dá)式，得到h（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，
f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-2}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，2]遞增，
∴f（x）的最小值是f（1）=3；
（2）∵h(yuǎn)（x）=x³-6x²+2a+9，
∴h′（x）=3x²-12x=3x（x-4），
令h′（x）＞0，解得：x＞4，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜4，
∴h（x）在（0，4）遞減，在（4，+∞）遞增，
∴h（x）_極小值=h（4）=-32+2a+9≤0，
解得：a≤$\frac{23}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．