Question

已知函數(shù)f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）當(dāng)a=1時，求使f（x）=3的x的值；
（2）求f（x）的最小值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令t=2^x-2^-x ，當(dāng)a=1時，f（x）=t²-2t+4，由f（x）=3，可得t²-2t+1=0，解得t的值，可得x的值．
（2）令f（x）=g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，根據(jù)由于t 在[-1，1]上單調(diào)遞增，求得t∈[-

3

2

，

3

2

]，再分當(dāng)a＜-

3

2

時、當(dāng)a∈[-

3

2

，

3

2

]時、當(dāng)a＞

3

2

時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g（t）的最小值．
（3）由題意可得方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，即 2a=t+

2

t

．當(dāng)t∈（0，

3

2

）時，里哦也難怪基本不等式求得2a的范圍．再由 t+

2

t

為奇函數(shù)，可得t∈[-

3

2

，0)時，2a的范圍，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a² =（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2，
令t=2^x-2^-x ，當(dāng)a=1時，f（x）=t²-2t+4，
由f（x）=3，得：t²-2t+1=0，解得t=1，
即 2^x-2^-x=1，解得x=lo

g

(1+ 5 ) 2

．
（2）令f（x）=g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，
由于t=2^x-2^-x，在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，
當(dāng)a＜-

3

2

時，g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上是增函數(shù)，g（t）的最小值為g（-

3

2

）=2a²+3a+

17

4

．
當(dāng)a∈[-

3

2

，

3

2

]時，函數(shù)g（t）的最小值為g（a）=a²+2．
當(dāng)a＞

3

2

時，g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上是減函數(shù)，g（t）的最小值為g（

3

2

）=2a²-3a+

17

4

．
（3）關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解．
而t≠0，∴2a=t+

2

t

，故當(dāng)t∈（0，

3

2

）時，2a=t+

2

t

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

時取等號，故此時a的范圍為[

2

，+∞）．
又 t+

2

t

為奇函數(shù)，故當(dāng)t∈[-

3

2

，0)時，a的范圍為（-∞，-

2

]，
綜上可得，a的取值范圍是(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．

點評：本題主要考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．