若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲線過原點,且在x=±1處的切線的斜率為-1,有以下命題:
(1)f(x)的解析式為:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]
(2)f(x)的極值點有且僅有一個
(3)f(x)的最大值與最小值之和等于零
其中假命題個數(shù)為( )
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
【答案】
分析:首先利用導數(shù)的幾何意義及函數(shù)f(x)過原點,列方程組求出f(x)的解析式;然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,且由f′(x)的最小值求出k的最大值,則命題(1),(3)得出判斷;最后令f′(x)=0,求出f(x)的極值點,進而求得f(x)的單調區(qū)間與最值,則命題(2)得出判斷.
解答:解:函數(shù)f(x)=x
3+ax
2+bx+c的圖象過原點,可得c=0;
又f′(x)=3x
2+2ax+b,且f(x)在x=±1處的切線斜率均為-1,
則有
,解得a=0,b=-4.
所以f(x)=x
3-4x,f′(x)=3x
2-4.
(1)可見f(x)=x
3-4x,因此(1)正確;
(2)令f′(x)=0,得x=±
.因此(2)不正確;
所以f(x)在[-
,
]內遞減,
(3)f(x)的極大值為f(-
)=
,極小值為f(
)=-
,兩端點處f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值為M=
,最小值為m=-
,則M+m=0,因此(3)正確.
故選B.
點評:本題主要考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、最值的方法.