Question

（2013•貴陽二模）已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2Sn+48

n

，數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差（等比）數(shù)列對應(yīng)的前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式和性質(zhì)，列出關(guān)于a₁和d方程，進(jìn)行求解然后代入通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅱ）的結(jié)果求出S_n，代入b_n進(jìn)行化簡后，利用基本不等式求出最小項(xiàng)以及對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)．

解答：解：（I）設(shè)公差為d且d≠0，則有

7a1+21d=70 a22=a1a6

，即

a1+3d=10 (a1+d)2=a1(a1+5d)

，
解得

a1=1 d=3

或

a1=10 d=0

 （舍去），
∴a_n=3n-2．
（II）由（Ⅱ）得，sn=

n[1+(3n-2)]

2

=

3n2-n

2

，
∴b_n=

2Sn+48

n

=

3n2-n+48

n

=3n+

48

n

-1≥2

3×48

-1=23，
當(dāng)且僅當(dāng)3n=

48

n

，即n=4時(shí)取等號(hào)，
故數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)是第4項(xiàng)，該項(xiàng)的值為23．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式結(jié)合的題目，考查了等差（等比）數(shù)列對應(yīng)的前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式和性質(zhì)等，注意利用基本不等式求最值時(shí)的三個(gè)條件的驗(yàn)證．