【題目】已知拋物線:上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線與拋物線交于兩點、,且,是弦中點,過作平行于軸的直線交拋物線于點,得到,再分別過弦、的中點作平行于軸的直線依次交拋物線于點、,得到和,按此方法繼續(xù)下去,解決下列問題:
①求證:;
②計算的面積;
③根據(jù)的面積的計算結(jié)果,寫出、的面積,請設(shè)計一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法,并求此封閉圖形的面積.
【答案】(1);(2)①見解析; ②;③,無窮等比數(shù)列各項和..
【解析】
(1)由拋物線的定義、結(jié)合已知可以直接求出的值,進而可以求出拋物線的方程;
(2)①:直線方程與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、結(jié)合
,可以證明出;
②:利用中點坐標(biāo)公式和三角形面積公式直接求解即可;
③:同②可知:只與有關(guān),于是可知,分別與、有關(guān),這樣可以求出它們的面積;這樣無限操作下去,每次得到的三角形面積都相等,面積是一個等比數(shù)列,每次得到的三角形的個數(shù)也是等比數(shù)列,利用無窮等比數(shù)列前項和公式,這樣可以求出拋物線與線段所圍成封閉圖形面積.
(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為:,由拋物線的定義可知:,所以拋物線的方程為:;
(2)①:聯(lián)立直線和拋物線方程得:,
∴,;
∴;
②:由中點坐標(biāo)公式可得:,∴,,,;
③:由同②可知:只與有關(guān),而,
所以,這樣無限操作下去,第次操作,得到個小三角形,每個三角形的面積為:,這無窮多個三角形的面積之和就是拋物線與線段所圍成封閉圖形面積,所以有
所求的面積為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).設(shè)其中直角三角形中較小的銳角為,且,如果在弦圖內(nèi)隨機拋擲1000米黑芝麻(大小差別忽略不計),則落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)大約為( )
A. 350B. 300C. 250D. 200
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖等腰梯形中,且平面 平面,,為線段的中點.
(1)求證:直線平面;
(2)求證:平面 平面;
(3)若二面角的大小為,求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某地區(qū)2008年至2014年中,每年的居民人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
對變量t與y進行相關(guān)性檢驗,得知t與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)預(yù)測該地區(qū)2016年的居民人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間.
(1)若“”為真,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若“”為真,“”為假,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加某次知識競賽測試得學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生,將其成績(百分制均為整數(shù))分成6段,,…,后得到如下部分頻率直方分布圖,觀察圖形得信息,回答下列問題:
(1)求分數(shù)在內(nèi)的頻率;
(2)若用樣本估計總體,已知該校參加知識競賽一共有300人,請估計本次考試成績不低于80分的人數(shù);
(3)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間中點值作為代表,據(jù)此估計本次考試的平均分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處的切線與直線平行.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
(3)記函數(shù),設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)的最大值.
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