Question

已知某海濱浴場海浪的高度y（米）是時(shí)間t的（0≤t≤24，單位：小時(shí)）函數(shù)，記作：y=f（t），下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：

t（時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

經(jīng)長期觀察，y=f（t）的曲線，可以近似地看成函數(shù)y=Acosωt+b的圖象．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f（t）近似表達(dá)式；
（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于0.75米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0），從表格中找出同（6，0.5）和（12，1.5）是同一個(gè)周期內(nèi)的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，由此算出函數(shù)的周期T=12并得到ω=

π

6

，算出A=

1

2

和k=1，最后根據(jù)x=6時(shí)函數(shù)有最小值0.5解出φ=

π

2

，從而得到函數(shù)y=f（t）近似表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）的解析式，解不等式f（t）＞0.75，可得12k-4＜t＜12k+4（k∈z），取k=0、1、2，將得到的范圍與[8，20]對(duì)照，可得從8點(diǎn)到16點(diǎn)共8小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）
∵同一周期內(nèi)，當(dāng)t=12時(shí)y_max=1.5，當(dāng)t=6時(shí)y_min=0.5，
∴函數(shù)的周期T=2（12-6）=12，得ω=

2π

12

=

π

6

，A=

1

2

（1.5-0.5）=

1

2

且k=

1

2

（1.5+0.5）=1
可得f（t）=

1

2

sin（

π

6

t+φ）+1，
再將（6，0.5）代入，得0.5=

1

2

sin（

π

6

×6+φ）+1，解之得φ=

π

2

∴函數(shù)近似表達(dá)式為f（t）=

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1，即y=

1

2

cos

π

6

t+1；
（2）由題意，可得

1

2

cos

π

6

t+1＞0.75，即cos

π

6

t＞-

1

2

，
解之得-

2π

3

+2kπ＜

π

6

t＜

2π

3

+2kπ，k∈z．即12k-4＜t＜12k+4（k∈z），
∴在同一天內(nèi)取k=0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24
∴在規(guī)定時(shí)間上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，從8點(diǎn)到16點(diǎn)共8小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求函數(shù)的近似表達(dá)式并求能供沖浪運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段．著重考查了三角函數(shù)的解析式求法、三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．