Question

5．已知直線l過點(diǎn)P（1，2）且與圓C：x²+y²=2相交于A，B兩點(diǎn)，△ABC的面積為1，則直線l的方程為x-1=0，3x-4y+5=0．

Answer 1

分析 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，此時(shí)，A（1，1），B（1，-1），|AB|=2，成立；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx-y+2-k=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{kx-y+2-k=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+（4k-2k²）x+k²-4k+2=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線方程，結(jié)合已知條件，能求出直線的方程．

解答 解：∵直線l過點(diǎn)P（1，2）且與圓C：x²+y²=2相交于A，B兩點(diǎn)，△ABC的面積為1，
∴C（0，0），
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，
此時(shí)，A（1，1），B（1，-1），|AB|=2，
點(diǎn)C到直線x=1的距離d=1，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×2=1$，成立；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{kx-y+2-k=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+（4k-2k²）x+k²-4k+2=0，
∵直線l過點(diǎn)P（1，2）且與圓C：x²+y²=2相交于A，B兩點(diǎn)，
∴△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}-4k+2}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{{4k-2k}^{2}}{{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{{k}^{2}-4k+2}{{k}^{2}+1}]}$=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+16k-8}{{k}^{2}+1}}$，
點(diǎn)C（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵△ABC的面積為1，
∴$\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{4{k}^{2}+16k-8}{{k}^{2}+1}}$×$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
整理，得16k²-24k+9=0，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直線l為3x-4y+5=0．
綜上，直線l的方程為：x-1=0，3x-4y+5=0．
故答案為：x-1=0，3x-4y+5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．