P,Q,M,N四點(diǎn)都在橢圓x2+
y2
2
=1
上,F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn).已知
PF
FQ
共線,
MF
FN
共線,且
PF
MF
=0
.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.
分析:由題設(shè)條件可知MN⊥PQ.設(shè)MN⊥y軸,則PQ⊥x軸,MN的方程為y=1,PQ的方程為x=0,由題設(shè)條件能夠推出四邊形PMQN的面積為
1
2
,|MN|•|PQ|=
1
2
×
2
×2
2
=2.當(dāng)MN,PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí),根據(jù)題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出|MN|=
2
2
(1+k2)
k2+2
,|PQ|=
2
2
(1+k2)
2k2+1
,所以S四邊形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)=2(1-
1
2(k2+1/k2)+5
)≥
16
9
,由此入手結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С觯⊿四邊形PMQNmax=2,(S四邊形PMQNmin=
16
9
解答:精英家教網(wǎng)解:∵
PF
MF
=0?
PF
MF
.即MN⊥PQ.
當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時(shí),另一條直線必垂直于y軸.
不妨設(shè)MN⊥y軸,則PQ⊥x軸,
∵F(0,1)
∴MN的方程為:y=1,PQ的方程為:x=0
分別代入橢圓x2+
y2
2
=1
中得:|MN|=
2
,|PQ|=2
2

S四邊形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
1
2
×
2
×2
2
=2
當(dāng)MN,PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí),
設(shè)MN的方程為y=kx+1(k≠0),
代入橢圓x2+
y2
2
=1
中得:(k2+2)x2+2kx-1=0,
∴x1+x2=-
2k
k2+2
,x1•x2=-
1
k2+2

|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[(
2k
k2+2
)
2
+
4
k2+2
]
=
2
2
(1+k2)
k2+2

同理可得:|PQ|=
2
2
(1+k2)
2k2+1

S四邊形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
2k4+4k2+2
2k4+5k2+2
=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)=2(1-
1
2(k2+1/k2)+5
)≥
16
9

(當(dāng)且僅當(dāng)k2=
1
k2
即k=±1時(shí),取等號(hào)).
又S四邊形PMQN=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)<2
,∴此時(shí)
16
9
S四邊形PMQN<2.
綜上可知:(S四邊形PMQNmax=2,(S四邊形PMQNmin=
16
9
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系,解題昌要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,避免錯(cuò)誤.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P、Q、M、N四點(diǎn)都在中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為
2
2
,左焦點(diǎn)為F(-1,0)的橢圓C上,已知
PF
FQ
共線,
MF
FN
共線,
PF
MF
=0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試用直線PQ的斜率k(k≠0)表示四邊形PMQN的面積S,求S的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

P、Q、M、N四點(diǎn)都在中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率e=
2
2
,左焦點(diǎn)F(-1,0)的橢圓上,已知
PF
 與 
FQ
 共線, 
MF
FN
 共線,
PF
MF
=0
,求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

P、Q、M、N四點(diǎn)都在中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率e=,左焦點(diǎn)F(-1,0)的橢圓上,已知共線,共線,·=0,求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年大綱版高三上學(xué)期單元測(cè)試(8)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn).已知

 

線,且共線.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

 

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