Question

（本題滿分15分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，試判斷的單調(diào)性并給予證明;
（Ⅱ）若有兩個極值點．
（i） 求實數(shù)a的取值范圍;
（ii）證明：。 （注：是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（1）在R上單調(diào)遞減 （2）,對于函數(shù)中不等式的證明，一般要功過構(gòu)造函數(shù)來結(jié)合函數(shù)的最值來證明不等式的成立。

試題分析：解：（1）當時，，在R上單調(diào)遞減       …………1分
，只要證明恒成立，      …………………………2分
設(shè)，則，
當時，，
當時，，當時，  ………………4分
，故恒成立
所以在R上單調(diào)遞減                          ……………………6分
（2）（i）若有兩個極值點，則是方程的兩個根，
故方程有兩個根，
又顯然不是該方程的根，所以方程有兩個根，    …………8分
設(shè)，得
若時，且，單調(diào)遞減
若時，
時，單調(diào)遞減
時，單調(diào)遞增            ……………………………10分
要使方程有兩個根，需，故且
故的取值范圍為              ……………………………………12分
法二：設(shè)，則是方程的兩個根，
則，
當時，恒成立，單調(diào)遞減，方程不可能有兩個根
所以，由，得，
當時，，當時，
，得
（ii） 由，得：，故，
，      ………………14分
設(shè)，則，上單調(diào)遞減
故，即  ………………………………15分
點評：利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和求解函數(shù)的極值和最值，這是導數(shù)作為工具性的一個重要的體現(xiàn)。同時對于含有參數(shù)的導數(shù)的單調(diào)性的判定要學會結(jié)合導數(shù)的正負來求解單調(diào)增減區(qū)間，同時利用導數(shù)在某點處的正負來判定極值，而運用導數(shù)證明不等式，一般構(gòu)造函數(shù)來證明。屬于難度題。