Question

已知

a

=（2cosx+2

3

sinx，1），

b

=（y，cosx），且

a

∥

b

．
（1）將y表示成x的函數(shù)f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=3，

BA

•

BC

=

9

2

，且a+c=3+

3

，求邊長b．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其三角函數(shù)的周期計算公式即可得出．
（2）由f（B）=3，利用（1）可得B=

π

6

．再利用數(shù)量積運算可得accosB=

9

2

，即ac=3

3

．再利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴y=(2cosx+2

3

sinx)cosx
=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
即f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴T=

2π

2

=π．即f（x）的最小正周期為π．
（2）由f（B）=3，得2sin(2B+

π

6

)+1=3，化為sin(2B+

π

6

)=1，
∴2B+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，只能取k=0，解得B=

π

6

．
∵

BA

•

BC

=

9

2

，∴accosB=

9

2

，
∴

3

2

ac=

9

2

，化為ac=3

3

．
聯(lián)立

a+c=3+ 3 ac=3 3

，
解得

a=3 c= 3

或

a= 3 c=3

由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=32+(

3

)2-6

3

×

3

2

=3，
∴b=

3

．

點評：本題考查了向量共線定理、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其三角函數(shù)的周期計算公式、數(shù)量積運算、余弦定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．