分析 在三角形ABC中,由余弦定理可得BC,再由BE=2EC,可得BE,EC,再在△ABC中,在△ABE中,分別求出cosB,解方程可得AE,在△AEC中,求得cos∠EAC,即可得到所求角.
解答 解:在三角形ABC中,由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC
=16+9-2×4×3×$\frac{1}{2}$=13,
即BC=$\sqrt{13}$,
BE=2EC,可得BE=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$,EC=$\frac{\sqrt{13}}{3}$,
在△ABC中,cosB=$\frac{16+13-9}{2×4\sqrt{13}}$=$\frac{5}{2\sqrt{13}}$,
在△ABE中,cosB=$\frac{16+\frac{52}{9}-A{E}^{2}}{2×4×\frac{2\sqrt{13}}{3}}$=$\frac{5}{2\sqrt{13}}$,
解得AE=$\frac{2\sqrt{19}}{3}$,
在△AEC中,cos∠EAC=$\frac{A{E}^{2}+A{C}^{2}-E{C}^{2}}{2AE•AC}$
=$\frac{\frac{76}{9}+9-\frac{13}{9}}{2×\frac{2\sqrt{19}}{3}×3}$=$\frac{4\sqrt{19}}{19}$,
可得∠EAC=arccos$\frac{4\sqrt{19}}{19}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理在解三角形的運(yùn)用,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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