Question

（2008•寶坻區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2•a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），且a₄=81．
（1）求數(shù)列的前三項：a₁，a₂，a₃；
（2）是否存在一個實數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)條件a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₄=81先求出a₃的值，然后依此類推出a₂，a₁的值；
（2）先假設(shè)其存在，然后根據(jù)等差數(shù)列對應(yīng)的相鄰兩項的差為常數(shù)即可求出λ的值；
（3）先根據(jù)（2）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再借助于分組求和以及錯位相減求和即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）由an=2an-1+2n-1(≥2)⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33
同理可得    a₂=13，a₁=5．（3分）
（2）假設(shè)存在的實數(shù)λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

必是與n無關(guān)的常數(shù)，則

1+λ

2n

=0⇒λ=-1．（7分）
故存在實數(shù)λ=-1，使得數(shù)列{

1+λ

2n

}為等差數(shù)列．
（3）由（2）知數(shù)列{

an-1

2n

}是公差d=1的等差數(shù)列∴

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1=n+1⇒an=(n+1)•2n+1（9分）
S_n=n+2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹
2S_n=2n+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺²⇒相減整理得：S_n=n（2ⁿ⁺¹+1）（12分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的特定項以及數(shù)列的求和問題，本題涉及到數(shù)列求和的分組法以及錯位相減法，錯位相減法適用于一等差數(shù)列與一等比數(shù)列相乘組成的新數(shù)列，屬于中檔題．