Question

【題目】已知數列滿足，，我們知道當a取不同的值時，得到不同的數列.如當時，得到無窮數列：0，，，，…，當時，得到有窮數列：，，1.

（1）當a為何值時，；

（2）設數列滿足，，求證：a取中的任一數，都可以得到一個有窮數列；

（3）是否存在實數a，使得到的是無窮數列，且對于任意，都有成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3) 或

【解析】

(1)根據遞推公式分別依次計算即可.

(2)由題中所給與當時,得到有窮數列：,,1.可知若有則該數列為有窮數列.且,故可以考慮反推證明能夠有正整數滿足即可.

(3) 由與可得的范圍,再分與的情況討論即可.

(1)由題,,

,故.

(2)因為故.又a取中的任一數不妨設.

則,故,

同理

……

.

故,因為不存在,故為有窮數列.

即a取中的任一數，都可以得到一個有窮數列

(3) 由對于任意，都有成立且可得或,又,故.又當時恒成立,故是無窮數列滿足題意.

故只需即可.

又.解得或.