Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，若|

a

+

b

|=2

a

•

b

，則sin2x+tanx=（　�。�

• A、-1
• B、0
• C、2
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：首先求出|

a

+

b

|和2

a

•

b

，然后利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式等化簡(jiǎn)求值．

解答： 解：因?yàn)橄蛄?span id="vbpnvrh" class="MathJye">

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
所以

a

+

b

=（cos

3x

2

+cos

x

2

，sin

3x

2

-sin

x

2

），所以|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2cosx，

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
因?yàn)閨

a

+

b

|=2

a

•

b

，
所以2cosx=2cos2x，所以2cosx=4cos²x-2，解得cosx=1或cosx=-

1

2

（舍去），所以sinx=0，
所以sin2x+tanx=2sinxcosx+0=0；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的運(yùn)算以及三角恒等式的等價(jià)變換，其中注意函數(shù)名稱以及符號(hào)．