Question

8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A為鈍角，且b=atanB．
（1）證明：$A-B=\frac{π}{2}$；
（2）求sinB+2sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理、商的關(guān)系化簡(jiǎn)已知的式子，由條件和誘導(dǎo)公式求出A-B的值；
（2）由（1）求出B的范圍，由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍．

解答 解：（1）證明：△ABC中，由b=atanB，
得sinB=sinA×$\frac{sinB}{cosB}$，
則cosB=sinA；
又A為鈍角，∴A=$\frac{π}{2}$+B，
∴A-B=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）知C=π-（A+B）=π-（$\frac{π}{2}$+B+B）=$\frac{π}{2}$-2B＞0，
∴B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinB+2sinC=sinB+2sin（$\frac{π}{2}$-2B）
=sinB+2cos2B=sinB+2（1-2sin²B）
=-4（sinB-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{33}{16}$；
又B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴0＜sinB＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-4（sinB-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{33}{16}$≤$\frac{33}{16}$，
∴sinB+2sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{33}{16}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用以及正弦定理和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵．