【題目】已知圓,過(guò)原點(diǎn)的直線與其交于不同的兩點(diǎn).

1)求直線斜率的取值范圍;

2)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;

3)若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】(1) ;(2);(3).

【解析】

試題分析:(1)直線與其交于不同的兩點(diǎn),,可得,即可求直線斜率的取值范圍;(2)利用,即可求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(3)利用直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),分類討論,即可求的取值范圍.

試題解析:(1)由

直線過(guò)原點(diǎn),可設(shè)其方程:

直線與其將于不同的兩點(diǎn)

(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),

而曲線是圓心為,半徑的圓,

)化簡(jiǎn)得

是不同的兩點(diǎn),且點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

因此點(diǎn)滿足

這是圓心為,半徑為的一段圓。ú话ǘ它c(diǎn)),反之,可驗(yàn)證以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是曲線上的一個(gè)點(diǎn),因此是軌跡的方程.

(3)設(shè)直線過(guò)

設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),則有,解得

直線的斜率為

類似的可得

綜上,若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),

的取值范圍是.

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