已知函數(shù)f(x)＝.

(1)確定y＝f(x)在(0，＋∞)上的單調性；

(2)若a>0，函數(shù)h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有極值，求實數(shù)a的取值范圍．

 

（1）在(0，e]上單調遞增，在[e，＋∞)上單調遞減．（2）a>－（3）(0，＋∞)

【解析】(1)對已知函數(shù)f(x)求導得，f′(x)＝.

由1－ln x＝0，得x＝e.

∴當x∈(0，e)時，f′(x)>0；當x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，

∴函數(shù)f(x)在(0，e]上單調遞增，在[e，＋∞)上單調遞減．

(2)由h(x)＝xf(x)－x－ax2，

可得h(x)＝ln x－x－ax2，

則h′(x)＝－1－2ax＝.

h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有極值的充要條件是φ(x)＝－2ax2－x＋1在(0,2)上有零點，

∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－.

綜上所述，a的取值范圍是(0，＋∞)．

 

練習冊系列答案
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(1)求證：函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；

(2)若函數(shù)y＝－3有四個零點，求b的取值范圍；

(3)若對于任意的x1，x2∈[－1,1]時，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范圍．

 

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函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足①f(x)在D內是單調函數(shù)，②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域為[－b，－a]，那么y＝f(x)叫做對稱函數(shù)，現(xiàn)有f(x)＝－k是對稱函數(shù)，那么k的取值范圍是________．

 

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函數(shù)f(x)＝的定義域為________．

 

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設f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．

(1)確定a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值．

 

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