Question

19．已知半徑為$\sqrt{2}$的圓C，其圓心在射線y=-2x（x＜0）上，且與直線x+y+1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）從圓C外一點P（x₀，y₀））向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求△PMC面積的最小值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C（a，-2a）（a＜0），圓心到直線x+y+1=0的距離d=$\frac{|a-2a+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，求出圓心，可得圓的方程；
（2）由|PM|=|PO|，得2x₀-4y₀+3=0，化簡PM=PO=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{5（{y}_{0}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{9}{20}}$，求出PM的最小值，進一步求出△PMC面積的最小值及點P的坐標即可．

解答 解：（1）已知圓的半徑為$\sqrt{2}$，設(shè)圓心C（a，-2a）（a＜0），
∵圓心到直線x+y+1=0的距離d=$\frac{|a-2a+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
∴a=-1．
∴圓心C（-1，2）．
則圓的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2；
（2）點P（x₀，y₀），則PO=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，PM=$\sqrt{（{x}_{0}+1）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}-2}$，
由|PM|=|PO|，得2x₀-4y₀+3=0，
PM=PO=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{（2{y}_{0}-\frac{3}{2}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{5{{y}_{0}}^{2}-6{y}_{0}+\frac{9}{4}}$
=$\sqrt{5（{y}_{0}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{9}{20}}$．
當${y}_{0}=\frac{3}{5}$時，PM=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．因此，PM的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
△PMC面積的最小值是：$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{5}}{10}×\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
此時點P的坐標為（$-\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查直線方程和圓的方程及應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，主要是相切，切線長問題，屬于中檔題．