分析 (1)由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱,則f(1+x)=-f(1-x)⇒6(1-a)x2+12(a-1)x+(2-a)3-a3=0對x∈R恒成立,即可求a.
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,再求最值即可.
解答 解:(1)法1:化簡f(x)得f(x)=(x-a)3 (1分)
由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱,則f(1+x)=-f(1-x)…(2分)
即f(x)=-f(2-x)…,代入f(x)得(x-a)3+(2-x-a)3=0,整理得:
6(1-a)x2+12(a-1)x+(2-a)3-a3=0對x∈R恒成立,則
$\left\{\begin{array}{l}{6-6a=0}\\{12a-12=0}\\{(2-a)3-a3=0}\end{array}\right.∴a=1,\\;f(x)=(x-1)^{3}$。6分)
法2:f(x)=x3是奇函數(shù),f(x)=(x-a)3
是將f(x)的圖象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個單位,
由題意平移后的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱,故a=1.
(2)g(x)=f(x)-2x2=(x-1)3-2x2,
∵g′(x)=3x2-10x+3=0,∴${x}_{1}=\frac{1}{3},{x}_{2}=3$,又x∈[-1,1],
則x∈[-1,$\frac{1}{3}$]時g(x)遞增,x∈[$\frac{1}{3},1$]時g(x)遞減,故g(x)max=g($\frac{1}{3}$)=-$\frac{14}{27}$,
g(-1)=-10,g(1)=-2,∴g(x)min=-10.(10分)
綜上,g(x)max=$\frac{14}{27}$,g(x)min=-10.(12分)
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的對稱性及最值,關(guān)鍵是把對稱的定性描述轉(zhuǎn)化為定量運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(1)<f(-1)<c | B. | f(-1)<c<f(1) | C. | f(1)<c<f(3) | D. | c<f(3)<f(1) |
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A. | 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) | B. | 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) | ||
C. | 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) | D. | 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) |
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A. | (-2,0)∪(2,+∞) | B. | (-2,0)∪(0,2) | C. | (-∞,-2)∪(2,+∞) | D. | (-∞,-2)∪(0,2) |
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A. | B. | C. | D. |
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