Question

19．關于曲線C：x²+y⁴=1，給出下列四個命題：①曲線C有兩條對稱軸，一個對稱中心；
②曲線C上的點到原點距離的最小值為1；③曲線C的長度l滿足l＞4$\sqrt{2}$；④曲線C所圍成圖形的面積S滿足π＜S＜4．
上述命題中，真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)方程特點得：以-x代替 x，以-y代替y，方程也不變，說明曲線關于x軸、y軸、原點對稱；又x²=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²），即：x²≥（1-y²）即x²+y²≥1，說明曲線上任意一點到原點的距離都大于或等于1，故封閉曲線面積大于π，結合正方形的面積；以及兩點之間線段最短，綜合可得答案．

解答 解：以-x代替 x，方程不變，以-y代替y，方程也不變，
同時以x代替 x、-y代替y，方程也不變，
說明曲線關于x軸、y軸、原點對稱，故①正確；
又∵x²=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²）∴x²+y²≥1，
∴曲線上任意一點到原點的距離都大于或等于1，（當且僅當y=0時，等于1）
故②正確；
由②可得，曲線C所圍成圖形的面積S滿足大于單位圓的面積，小于邊長為2的正方形的面積，
即π＜S＜4，故④正確；
曲線C在每一段的長都大于$\sqrt{2}$，故由對稱性滿足l＞4$\sqrt{2}$，故③正確．
故選：A．

點評 本題考查曲線的性質，命題的真假判斷，注意運用不等式的性質和數(shù)形結合的思想方法，考查推理能力和判斷能力，屬于中檔題．