12.函數(shù)y=f(x)圖象上不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)處的切線的斜率分別是kM,kN,規(guī)定φ(M,N)=$\frac{{|{{k_M}-{k_N}}|}}{{|{MN}|}}$(|MN|為線段MN的長(zhǎng)度)叫做曲線y=f(x)在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”.①函數(shù)f(x)=x3+1圖象上兩點(diǎn)M與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)分別為1和2,φ(M,N)=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$;
②設(shè)曲線f(x)=x3+2上不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),且x1•x2=1,則φ(M,N)的取值范圍是(0,$\frac{3\sqrt{10}}{5}$).

分析 對(duì)于①,由y=x3+1,得y′=3x2,則kM=3,kN=12,則|kM-kN|=9,y1=2,y2=9,則|MN|=$\sqrt{(2-1)^{2}+(9-2)^{2}}$=5$\sqrt{2}$,即可求出φ(M,N)=$\frac{9}{5\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$;
對(duì)于②,利用定義,再換元,即可得出結(jié)論.

解答 解:對(duì)于①,由y=x3+1,得y′=3x2,
則kM=3,kN=12,則|kM-kN|=9,y1=2,y2=9,則|MN|=$\sqrt{(2-1)^{2}+(9-2)^{2}}$=5$\sqrt{2}$,
φ(M,N)=$\frac{9}{5\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$;
②曲線f(x)=x3+2,則f′(x)=3x2,
設(shè)x1+x2=t(|t|>2),則φ(M,N)=$\frac{|3{{x}_{1}}^{2}-3{{x}_{2}}^{2}|}{\sqrt{({x}_{2}-{x}_{1})^{2}+({{x}_{2}}^{3}-{{x}_{1}}^{3})^{2}}}$=$\frac{3|t|}{\sqrt{1+({t}^{2}-1)^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}-2}}$,
∴0<φ(M,N)<$\frac{3\sqrt{10}}{5}$.
故答案為$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$,(0,$\frac{3\sqrt{10}}{5}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.0B.1C.2D.3

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