Question

24、P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P點(diǎn)在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，則O是△ABC的

內(nèi)

心；若P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則O是△ABC的

外

心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的

垂

心．

Answer 1

分析：如圖P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P點(diǎn)在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，由三角形全等可以得到三線段OE=OF=OD，三線段分別垂直于對(duì)應(yīng)的邊，可得其為內(nèi)心；同理可得P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則O是△ABC的外心；PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的垂心．

解答：解：如圖P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P點(diǎn)在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，E，F(xiàn)，D分別是點(diǎn)P在三個(gè)邊上的垂足，故可證得OE，OF，OD分別垂直于三邊且相等，由內(nèi)切圓的加心的定義知，此時(shí)點(diǎn)O是三角形的內(nèi)心，故應(yīng)填：內(nèi)；
若P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由由條件可證得OA=OB=OC，由三角形外心的定義知此時(shí)點(diǎn)O是三角形的外心，故應(yīng)填：外；
若PA、PB、PC兩兩互相垂直，由可證得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此時(shí)點(diǎn)O是三角形三邊高的交點(diǎn)，故此時(shí)點(diǎn)O是三角形的垂心，故應(yīng)填：垂．
綜上，三空答案依次應(yīng)為內(nèi)，外，垂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形內(nèi)的特殊點(diǎn)內(nèi)心，外心，垂心，此是三角形�？嫉囊环N題型．