Question

已知函數(shù)f（x）=2x+

1

2x

．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（2）分別指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）和（-2，0）上的單調(diào)性并證明；
（3）分別指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，4）和（-4，-2）上的單調(diào)性并證明；
（4）由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）符號即可判斷函數(shù)在（0，2），（-2，0）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（2）求得的導數(shù)，判斷導數(shù)在區(qū)間（2，4），（-4，-2）上的符號，即可判斷函數(shù)在這兩個區(qū)間上的單調(diào)性；
（4）通過觀察函數(shù)f（x）在對稱區(qū)間上的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}；
f（-x）=-2x-

1

2x

=-f（x），∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）f′（x）=2-

1

2x2

=

4(x2- 1 4 )

2x2

；
∴x∈（-2，-

1

2

）時，f′（x）＞0；x∈(-

1

2

，0)時，f′（x）＜0；x∈(0，

1

2

)時，f′（x）＜0；x∈(

1

2

，2)時，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）在(-

1

2

，0)，(0，

1

2

)上單調(diào)遞減，在(-2，-

1

2

]，[

1

2

，2)上單調(diào)遞增；
（3）由（2）知，x∈（2，4），x∈（-4，-2）時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（2，4），（-4，-2）上單調(diào)遞增；
（4）得出的結(jié)論是：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一樣．

點評：考查奇函數(shù)的定義，及判斷方法，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性的特點．