Question

已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于

2

．
（1）求圓C的方程．
（2）若直線l：

x

m

+

y

n

=1（m＞2，n＞2）與圓C相切，求證：m+n=

mn+2

2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C的半徑為r，圓心為（a，b），根據(jù)題意求出a，b及r的值，即可確定出圓C的方程；
（2）由直線l與圓C相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后即可得證．

解答：解：（1）設(shè)圓C半徑為r，圓心為（a，b），
由已知得：

|a|=|b| r=|a| |a+b| 2 = 2

，
∴

a=b=1 r=1

或

a=b=-1 r=1

，
∴圓C方程為（x-1）²+（y-1）²=1或（x+1）²+（y+1）²=1；
（2）證明：直線l方程變形為nx+my-mn=0，
∵直線l與圓C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴

|n+m-mn|

n2+m2

=1，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，
左邊展開，整理得，mn=2m+2n-2，
∴m+n=

mn+2

2

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，以及直線的一般式方程，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．