已知f(x)=ln(ex+1)-ax是偶函數(shù),g(x)=ex+be-x是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)判斷g(x)的單調(diào)性(不要求證明);
(Ⅲ)若不等式g(f(x))>g(m-x)在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求a,b的值;
(Ⅱ)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷g(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式g(f(x))>g(m-x)在[1,+∞)上恒成立,進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可求實數(shù)m的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=ln(ex+1)-ax是偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x),
即f(-x)-f(x)=0,
則ln(e-x+1)+ax-ln(ex+1)+ax=0,
ln(ex+1)-x+2ax-ln(ex+1)=0,
則(2a-1)x=0,即2a-1=0,解得a=
1
2

若g(x)=ex+be-x是奇函數(shù).
則g(0)=0,即1+b=0,
解得b=-1;
(Ⅱ)∵b=-1,∴g(x)=ex-e-x,則g(x)單調(diào)遞增;
(Ⅲ)由(II)知g(x)單調(diào)遞增;
則不等式g(f(x))>g(m-x)在[1,+∞)上恒成立,
等價為f(x)>m-x在[1,+∞)上恒成立,
即ln(ex+1)-
1
2
x>m-x在[1,+∞)上恒成立,
則m<ln(ex+1)+
1
2
x,
設(shè)m(x)=ln(ex+1)+
1
2
x,
則m(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴m(x)≥m(1)=ln(1+e)+
1
2
,
則m<ln(1+e)+
1
2

則實數(shù)m的取值范圍是(-∞,ln(1+e)+
1
2
).
點評:本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立問題,利用參數(shù)分離法是解決恒成立問題的基本方法.
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已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組
0≤x≤
2
y≤2
x≤
2
y
給定.若M(x,y)為D上的動點,點A的坐標(biāo)為(
2
,1).
(1)求z=
OM
OA
的最大值;
(2)求w=
y-3
x-2
2
的最小值.

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π
6
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π
2
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x
y
)
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1
x
)<2

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(1)解關(guān)于x的方程:log5(x+1)-log 
1
5
(x-3)=1
(2)關(guān)于x的方程(
3
4
x=
3a+2
5-a
有負(fù)根,求a的取值范圍.

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設(shè)A=37+C
 
2
7
35+C
 
4
7
33+C
 
6
7
3,B=C
 
1
7
36+C
 
3
7
34+C
 
5
7
32+1,則A-B的值為
 

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