Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若對任意的， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值2；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入，求得，得到和的解集，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）由題意得，令，得，設(shè)，求得，得到的單調(diào)性，得到的最大值，分類討論，即可求解零點的個數(shù)；

（Ⅲ）由題意原命題等價于恒成立，設(shè)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)，即可求得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）因為，所以當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時， 取得極小值.

（2） ，

令，得．

設(shè)，則 ．

所以當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞減；

所以的最大值為，又，可知：

①當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；②當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有1個零點；

③當(dāng)時，函數(shù)有2個零.

（3）原命題等價于恒成立． .

設(shè) ，

則等價于在上單調(diào)遞減．

即在上恒成立，

所以 恒成立，所以．

即的取值范圍是．