如圖所示,將一塊直角三角形板ABO置于平面直角坐標系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,點P(
1
2
1
4
)
是三角板內(nèi)一點,現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN.問:
(1)求直線MN的方程
(2)求點M,N的坐標
(3)應如何確定直線MN的斜率,可使鋸成的△AMN的面積最大?
分析:(1)依題意得直線MN過點P(
1
2
1
4
)
且其斜率存在,由直線的點斜式方程可寫出答案;
(2)根據(jù)題意,M為OA與MN的交點,N為AB與MN的交點,易得OA、OB的方程,由(1)中所得的MN的方程,結(jié)合兩直線交點的求法,聯(lián)立直線的方程,易得M、N的坐標;
(3)先根據(jù)三角形面積公式寫出S△AMN關(guān)于k的關(guān)系式,設(shè)t=1-k,則f(t)=4t+
1
t
,轉(zhuǎn)化為求f(t)的最大值問題,用作差法判斷出f(t)在[
1
2
,
3
2
]
是增函數(shù),即t=
3
2
時,f(t)取得最大值,將t=
3
2
代入f(t)中,可得答案.
解答:解:(1)依題意得直線MN過點P(
1
2
1
4
)
且其斜率存在,則MN方程為:y-
1
4
=k(x-
1
2
)

(2)∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1,
∴直線OA方程為:y=x 直線AB方程為:x=1,
y-
1
4
=k(x-
1
2
)
y=x
,可得M(
2k-1
4(k-1)
,
2k-1
4(k-1)
)
,
2k-1
4(k-1)
≥0
,可得k≥1或k≤
1
2
,
又由
y-
1
4
=k(x-
1
2
)
x=1
N(1,
2k+1
4
)
2k+1
4
≥0
,
可得k≤-
1
2
,
-
1
2
≤k≤
1
2
;
M(
2k-1
4(k-1)
,
2k-1
4(k-1)
)
,N(1,
2k+1
4
)

(3)S△AMN=
1
2
•|AN|•h=
1
2
[1-
2k-1
4
][1-
2k-1
4(k-1)
]
=
1
32
[4(1-k)+
1
1-k
+4]

設(shè)t=1-k∈[
1
2
,
3
2
]
,f(t)=4t+
1
t

1
2
t1t2
3
2
時,f(t1)-f(t2)=(4t1+
1
t1
)-(4t2+
1
t2
)
=
(t1-t2)(4t1t2-1)
t1t2

1
2
t1t2
3
2
,∴t1t2>0,t1-t2<0,4t1t2-1>0,
∴f(t1)-f(t2)<0,即f(t1)<f(t2).
∴f(t)在[
1
2
,
3
2
]
是增函數(shù),
∴當t=
3
2
時,f(t)=
20
3
,即當1-k=
3
2
時即k=-
1
2
時,
S△max=
1
32
[
20
3
+4]=
1
3
點評:本題考查直線方程的運用,解(3)題時,注意先轉(zhuǎn)化問題,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),通過求函數(shù)的最大值的方法,求出答案.
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