Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察如圖的程序框圖，若k=5，k=10時(shí)，分別有S=和S=
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）令b_n=n•2^a（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察如圖的程序框圖，主要循環(huán)條件i＞k，求和M=，求出S，討論d與0的關(guān)系，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值，利用錯(cuò)位相減法求出T_n，從而進(jìn)行求解；
解答：解：（1）由框圖可知S=++…+，
∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
若d=0，則當(dāng)k=5時(shí)，S=5×=可得a₁=，
當(dāng)k=10時(shí)，S=10×=可得a₁=，顯然不成立，故舍去，
∴d≠0，∴=（-），
所以，S==（）
由題意可知，k=5時(shí)，S=，k=10時(shí)，S=，
⇒，
故a_n=2n-1；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，
∴T_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+（n-1）•2^2n-3+n•2^2n-1①，
又2²•T_n=1•2³+2•2⁵+…+（n-1）2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，②
①-②得，
-3Tn=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹==
∴T_n=（1-4n）+即T_n=；
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)流程圖計(jì)算運(yùn)行結(jié)果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模．算法和程序框圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，在近兩年的新課標(biāo)地區(qū)高考都考查到了，是一道中檔題；