已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+x2-x,a∈R

(1)若函數(shù) 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在(2,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+
1
3
x
,若方程g(x)-m=0在區(qū)間[-2,2]上有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行,可實數(shù)a的值;
(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+2x-1,函數(shù)f(x)在(2,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,只需f′(x)=ax2+2x-1>0在(2,+∞)上有解即可;
(3)函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+
1
3
x
,若方程g(x)-m=0在區(qū)間[-2,2]上有兩個不相等的實數(shù)根,只需要g(x)的圖象y=m有兩個不同的交點.
解答:解:(1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+2x-1
∵函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行,
∴f′(1)=a+1=4
∴a=3
(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+2x-1,函數(shù)f(x)在(2,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,只需f′(x)=ax2+2x-1>0在(2,+∞)上有解即可
f′(x)=ax2+2x-1>0在(2,+∞)上有解,即a>
1
x2
-
2
x
在(2,+∞)上有解
1
x2
-
2
x
=(
1
x
-1)
2
-1,
1
x
∈(0,
1
2
)

1
x2
-
2
x
>-
3
4

a>-
3
4

∴實數(shù)a的取值范圍是(-
3
4
,+∞)

(3)函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+
1
3
x
,若方程g(x)-m=0在區(qū)間[-2,2]上有兩個不相等的實數(shù)根,只需要g(x)的圖象y=m有兩個不同的交點
當(dāng)x≥1時,g(x)=x3-1+
1
3
x
,g′(x)=3x2+
1
3
>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增
當(dāng)x<1時,g(x)=-x3+1+
1
3
x
,g′(x)=-3x2+
1
3
=-3(x+
1
3
)(x-
1
3
)

令g′(x)>0,可得-
1
3
<x
1
3
,令g′(x)<0,可得x<-
1
3
,或x
1
3

∴函數(shù)在(-2,-
1
3
)
上單調(diào)減,(-
1
3
,
1
3
)上單調(diào)增,(
1
3
,1)
上單調(diào)減,(1,2)上單調(diào)增
∴當(dāng)x=-
1
3
時,g(x)取得極小值
25
27
.當(dāng)x=
1
3
時,g(x)取得極大值
29
27
.g(-2)=
25
3
,g(2)=
23
3

1
3
<m<
25
27
29
27
<m<
23
3
時,g(x)的圖象y=m有兩個不同的交點,方程g(x)-m=0在區(qū)間[-2,2]上有兩個不相等的實數(shù)根
∴實數(shù)m的取值范圍為(
1
3
,
25
27
)∪ (
29
27
,
23
3
)
點評:本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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