Question

5．如圖，已知點C是以AB為直徑的圓O上一點，CG垂直于AB，垂足為G，過B點做圓O的切線，交直線AC于點D，點E是CG的中點，連接并延長AE交BD于點F，求證：
（1）AE•DF=CE•AF；
（2）CF是圓O的切線．

Answer 1

分析 （1）證明△ACE∽△ADF，即可證明AE•DF=CE•AF；
（2）證明∠FCB+∠OCB=90°，即可證明CF是圓O的切線．

解答 證明：（1）由題知DB⊥AB，CG⊥AB，∴CG∥BD，△ACE∽△ADF，
有$\frac{AE}{AF}=\frac{CE}{DF}$，即AE•DF=CE•AF…（5分）
（2）連接OC和CB，由（1）知$\frac{AE}{AF}=\frac{CE}{DF}=\frac{EG}{FB}$，又CE=EG，所以DF=FB，…（7分）
在RT△DCB中，F(xiàn)為BD中點，F(xiàn)C=FB，
所以∠FCB=∠FBC，
又∠OCB=∠OBC，∠FBC+∠OBC=90°，所以∠FCB+∠OCB=90°，
即CF是圓O的切線…（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定，考查圓的切線的證明，屬于中檔題．