Question

已知平面向量

a

，

b

，

c

不共線，且兩兩之間的夾角都相等，若|

a

|=2，|

b

|=2，|

c

|=1，則

a

+

b

+

c

與

a

的夾角是

60°

．

Answer 1

分析：由題意可得，三個向量所成的角都是120°，求出

a

•

b

、

a

•

c

、

b

•

c

的值，即可求得| 

a

+

b

+

c

|，再利用兩個向量的夾角公式求出

a

+

b

+

c

與

a

的夾角的余弦值，
從而求得則

a

+

b

+

c

與

a

的夾角．

解答：解：∵平面向量

a

，

b

，

c

不共線，且兩兩之間的夾角都相等，故這3個向量兩兩之間的夾角都等于120°，
∴

a

•

b

=2×2×cos120°=-2，

a

•

c

=2×1×cos120°=-1，

b

•

c

=2×1×cos120°=-1，
| 

a

+

b

+

c

|=

a 2+ b 2+ c  2+2  a • b +2  a • c +2  b • c

=1．
設

a

+

b

+

c

與

a

的夾角是θ，則 0°≤θ≤180°，且cosθ=

( a + b + c )• a

| a + b + c |•| a |

=

a 2+ a • b  +  a • c

1×2

=

1

2

，
∴θ=60°，
故答案為 60°．

點評：本題考查利用向量的數(shù)量積表示向量的夾角和向量的模長公式的應用，本題解題的關鍵是正確利用向量的模長公式和求夾角的公式，屬于中檔題．