Question

設(shè)Ｐ，Ｑ為圓周上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足與圓內(nèi)一定點(diǎn)，使，求過(guò)Ｐ和Ｑ的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡。

Answer 1

軌跡是以為圓心，為半徑的圓周

解法一：連接PQ，OM，由圓的切線性質(zhì)知，且PQ與OM交點(diǎn)E為PQ的中點(diǎn)。
…………5分
設(shè)，則，。從而得到E點(diǎn)的坐標(biāo)為
。                                 …………10分
由于，所以。又，于是有
，即有
                  ………… 15分
化簡(jiǎn)得。
上述為以為圓心，為半徑的圓周。          …………20分
解法二：設(shè)Ｐ，Ｑ的坐標(biāo)為。由題意知，過(guò)Ｐ，Ｑ的切線方程分別為
　　　…………①，    …………②
      …………③
      …………④      ………… 5分
由，得
 …………⑤
若①和②的交點(diǎn)仍記為，由此得到 ()              ………… 10分
代入③和④，得
    
   
聯(lián)立上述兩式，即得
           ………… 15分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124210973254.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，即。
同理可得。于是有

再由⑤式，推出。
由上可得，。
即有。
上述為以為圓心，為半徑的圓周。                    …………20分
當(dāng)時(shí)，也符合題設(shè)所求的軌跡。