Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，a＞0．
（ I）設(shè)g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ II）若f（x）在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）求出導(dǎo)函數(shù)g（x）=f'（x）=lnx-2ax+2a，x＞0，通過導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（ II）利用f（x）在x=1處取得極大值，推出f'（1）=0．通過①當(dāng)$\frac{1}{2a}=1$，②當(dāng)$\frac{1}{2a}＞1$，③當(dāng)$0＜\frac{1}{2a}＜1$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（ I）∵f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，∴g（x）=f'（x）=lnx-2ax+2a，x＞0，
∴$g'（x）=\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$，x＞0．
當(dāng)a＞0時，在$（0，\frac{1}{2a}）$上g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是$（0，\frac{1}{2a}）$，單調(diào)減區(qū)間是$（\frac{1}{2a}，+∞）$．…（6分）
（ II）∵f（x）在x=1處取得極大值，∴f'（1）=0．
①當(dāng)$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時，由（ I）知f'（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞0時，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意；
②當(dāng)$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，由（ I）知，f'（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，當(dāng)$1＜x＜\frac{1}{2a}$時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在$（1，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x=1處取得極小值，不合題意；
③當(dāng)$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，由（ I）知，f'（x）在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)$\frac{1}{2a}＜x＜1$時，f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，
∴f（x）在$（\frac{1}{2a}，1）$上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值，滿足條件．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．