Question

（2013•涼山州二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，BC=2BB₁，D為BC中點(diǎn)．
（1）證明：A₁B∥平面C₁AD；
（2）證明：平面B1AD⊥平面C_lAD．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)E．矩形AA₁C₁C中，可得E為A₁C中點(diǎn)，從而得到DE為△A₁BC的中位線，可得DE∥A₁B．利用線面平行判定定理，即可證出A₁B∥平面C₁AD；
（2）等腰△ABC中利用“三線合一”證出AD⊥BC，再根據(jù)直棱柱的性質(zhì)利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AD⊥B₁B從而得到AD⊥平面BB₁C₁C，得AD⊥DB₁，所以∠C₁DB₁就是二面角B₁-AD-C₁的平面角．最后根據(jù)矩形BB₁C₁C中，BC=2B₁B，D為BC中點(diǎn)，證出△B₁C₁D是以B₁C₁為斜邊的等腰直角三角形，得B₁D⊥C₁D，得二面角B₁-AD-C₁是直二面角，結(jié)合面面垂直的定義可得平面B1AD⊥平面C_lAD．

解答：解：（1）連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)E
∵四邊形AA₁C₁C是矩形，∴E為A₁C中點(diǎn)
∵D為BC中點(diǎn)，∴DE為△A₁BC的中位線，可得DE∥A₁B
∵DE?平面C₁AD，A₁B?平面C₁AD，
∴A₁B∥平面C₁AD；
（2）∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，
∴結(jié)合AD?平面ABC，得AD⊥B₁B
∵BC、B₁B是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BB₁C₁C
因此，AD⊥DB₁，可得∠C₁DB₁就是二面角B₁-AD-C₁的平面角
∵矩形BB₁C₁C中，BC=2B₁B，D為BC中點(diǎn)
∴設(shè)B₁B=1，可得B₁D=DC₁=

2

，
結(jié)合B₁C₁=BC=2得△B₁C₁D是以B₁C₁為斜邊的等腰直角三角形，可得B₁D⊥C₁D
因此，二面角B₁-AD-C₁是直二面角，可得平面B1AD⊥平面C_lAD．

點(diǎn)評：本題在底面為等腰三角形的直三棱柱中求證線面平行，并證明面面垂直．著重考查了直三棱柱的性質(zhì)、線面平行的判定定理和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．