Question

已知橢圓＋y²＝1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸．求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：方法一　依題設(shè)知橢圓的半焦距c＝1，右焦點(diǎn)為F(1，0)，右準(zhǔn)線方程為x＝2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，0)，EF的中點(diǎn)為N(，0)(如圖所示)． 　　若AB垂直于x軸，則A(1，y1)，B(1，－y1)，C(2，－y1)，∴AC的中點(diǎn)為N，即AC過EF的中點(diǎn)N． 　　若AB不垂直于x軸，由直線AB過點(diǎn)F，A由BC∥x軸知點(diǎn)B不在x軸上，故直線AB的方程為y＝k(x－1)，k≠0． 　　記A(x1，y1)和B(x2，y2)，則x1、x2滿足二次方程＋k2(x－1)2＝1， 　　即(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， 　　∴x1＋x2＝，x1x2＝． 　　又＝2－2＜2，得x1－≠0，故直線AN、CN的斜率分別為k1＝＝，k2＝＝2k(x2－1)． 　　∴k1－k2＝2k·． 　　∵(x1－1)－(x2－1)(2x1－3) 　　＝3(xl＋x2)－2x1x2－4 　�。�［12k2－4(k2－1)－4(1＋2k2)］＝0， 　　∴k1－k2＝0，即k1＝k2． 　　故A、C、N三點(diǎn)共線． 　　所以，直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)N． 　　方法二　如上圖，記直線AC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AD⊥l，點(diǎn)D是垂足．因?yàn)辄c(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線l是右準(zhǔn)線，BC∥x軸，即BC⊥l，根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，得＝＝e(e是橢圓的離心率)． 　　∵AD∥FE∥BC． 　　∴＝＝，＝， 　　即｜EN｜＝＝e· 　�。�＝｜FN｜． 　　∴N為EF的中點(diǎn)，即直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)N． 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓和直線的基礎(chǔ)知識(shí)以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．以上兩種證法均為通法，但證法二充分挖掘橢圓幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡(jiǎn)捷，所以兩法相比較，證法二較好．