Question

設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x²+y²=a²（a＞0）相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：a²＞

3k2

3+k2

（2）若k=

3

且

AC

=2

CB

，求△OAB的面積及橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由直線l與橢圓相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，故聯(lián)立直線方程和橢圓方程所得方程組有兩組根，進(jìn)而可得方程（

3

k2

+1）y²-

6

k

y+3-a²=0的△＞0，化簡后可得結(jié)論；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AC

=2

CB

，可得y₁=-2y₂，由韋達(dá)定理可得y₁+y₂=

3

，求出y₂后，可得△OAB的面積及橢圓方程．

解答：證明：（1）由

y=k(x+1) 3x2+y2=a2

得：
（

3

k2

+1）y²-

6

k

y+3-a²=0…①
∵直線l與橢圓相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴方程①有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即△=(

6

k

)2-4(

3

k2

+1)(3-a2)＞0
即(

3

k2

+1)a2＞3
即a²＞

3k2

3+k2

解：（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)k=

3

時(shí)，方程①可化為：2y²-2

3

y+3-a²=0
∴y₁+y₂=

3

…②
又∵

AC

=2

CB

，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即y₁=-2y₂…③
由②③得：y₂=-

3

，y₁=2

3

∴△OAB的面積S=

1

2

•|OC|•|y₁-y₂|=

3 3

2

將y₂=-

3

，代入2y²-2

3

y+3-a²=0得：a²=15
故橢圓的方程為：3x²+y²=15

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐曲線，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是高考的壓軸題型，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，屬于難題．