Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的點(diǎn)均在C₂：(x－5)²＋y²＝9外，且對C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x＝－2的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值．

(Ⅰ)求曲線C₁的方程；

(Ⅱ)設(shè)P(x₀，y₀)(y₀≠±3)為圓C₂外一點(diǎn)，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點(diǎn)A，B和C，D．證明：當(dāng)P在直線x＝－4上運(yùn)動時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得 　　， 　　易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)．于是，所以 　　． 　　化簡得曲線的方程為． 　　解法2：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為． 　　(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為．于是 　　 　　整理得 　　① 　　設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故 　　② 　　由得③ 　　設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以 　　④ 　　同理可得 　　⑤ 　　于是由②，④，⑤三式得 　　 　　 　　． 　　所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400．

提示：

本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法．第一問用直接法或定義法求出曲線的方程；第二問設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想．