17.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足對?a,b∈(0,+∞)都有f(ab)=f(a)+f(b),且當(dāng)x>1時,f(x)<0.
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的單調(diào)性并證明;
(Ⅲ)若f(3)=-1,解不等式f(x)+f(x-8)>-2.

分析 (I)令a=b=1即可得出關(guān)于f(1)的方程,求出f(1);
(II)設(shè)0<x1<x2,則由函數(shù)性質(zhì)①可得出f(x2)-f(x1)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)+f(x1)-f(x1)=)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$),由$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}>0$,∴$f(\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}})<0$,得到 f(x2)<f(x1).
(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得f(9)=-2,利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域列出不等式組解出x

解答 解:(1)對?a,b∈(0,+∞)都有f(ab)=f(a)+f(b),令a=b=1,可得f(1)=2f(1),解得f(1)=0;
 (Ⅱ) 證明:設(shè)x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}•{x}_{1}$)-f(x1)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)+f(x1)-f(x1)=)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}>0$,∴$f(\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}})<0$,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
(Ⅲ)令a=b=3,可得f(9)=2f(3)=-2,
∴f(x)+f(x-8)>-2⇒f[x(x-8)]>f(9)
⇒$\left\{\begin{array}{l}{x(x-8)<9}\\{x>0}\\{x-8>0}\end{array}\right.∴8<x<9$.
不等式f(x)+f(x-8)>-2的解集為:(8,9)

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì),單調(diào)性的判斷與應(yīng)用,屬于中檔題

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.同時擲兩顆骰子,計(jì)算向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為( 。
A.$\frac{1}{36}$B.$\frac{1}{9}$C.$\frac{1}{18}$D.$\frac{1}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.等差數(shù)列{an}中,a3=4,前11項(xiàng)和S11=110,則a9=( 。
A.10B.12C.14D.16

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.已知命題p:函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x2+(5-a2)x+a在R上的增函數(shù);命題q:函數(shù)g(x)=$\frac{e^x}{x}$在[a,+∞)上單調(diào)遞增,若“p∨(¬q)”為真命題,“(¬p)∨q”也為真命題,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.若tanθ=2,則$\frac{2sinθ-cosθ}{sinθ+2cosθ}$的值為(  )
A.0B.1C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{5}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.若偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則不等式f(-1)<f(x)的解集是(  )
A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.若F1、F2是橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{9}$=1的兩個焦點(diǎn),過F1作直線與橢圓交于A、B,則△ABF2的周長為16.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.命題“若a2+b2=0,則a=0或b=0”的否命題是( 。
A.若a≠0或b≠0,則a2+b2≠0B.若a2+b2≠0,則a≠0且b≠0
C.若a=0且b=0,則 a2+b2≠0D.若a2+b2≠0,則a≠0或b≠0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤6}\\{x+2y≤6}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,則Z=max{2x+y-1,x+2y+2}的取值范圍是[-1,5].

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案