Question

若函數(shù)f（x）=4^x-k•2^x+k+3有唯一零點，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)t=2^x，則t＞0，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為y=g（t）=t²-k•t+k+3，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解即可．

解答： 解：設(shè)t=2^x，則t＞0，
則函數(shù)f（x）等價為y=g（t）=t²-k•t+k+3，在t＞0時有唯一零點，
若△=0時，有對稱軸x=-

-k

2

=

k

2

＞0，
即

△=k2-4(k+3)=0 k 2 ＞0

，
∴

k=-2或k=6 k＞0

，解得k=6．
若△＞0，即k＞6或k＜-2時，
滿足g（0）＜0，
即g（0）=k+3＜0，
解得k＜-3，
此時k＜-3．
綜上：實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-3）∪{6}．
故答案為：（-∞，-3）∪{6}．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．