Question

如圖，在直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且∠DAB=60°，AA₁=2

3

，P、Q分別是棱A₁D₁和AD的中點(diǎn)，R為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）求出平面RQC的法向量和平面QCB的法向量，由此能求出二面角R-QC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得Q（0，0，0），P（0，0，2

3

），
B（0，2

3

，0），R（0，

3

，

3

），
C（-4，2

3

，0），

QR

=（0，

3

，

3

），

PB

=（0，2

3

，-2

3

），

PC

=（-4，2

3

，-2

3

），
∴

QR

•

PB

=0，

QR

•

PC

=0，
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：

QR

=（0，

3

，

3

），

QC

=（-4，2

3

，0），
設(shè)平面RQC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • RQ = 3 y+ 3 z=0 n • RC =-4x+2 3 y=0

，
取y=-2

3

，得

n

=（3，-2

3

，2

3

），
又平面QCB的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2 3

33

=

2 11

11

．
∴二面角R-QC-B的余弦值為

2 11

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．