從橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一點(diǎn)P向x軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn)F1,A為橢圓的右頂點(diǎn),B是橢圓的上頂點(diǎn),且
AB
OP
(λ>0)

(1)求該橢圓的離心率.
(2)若該橢圓的準(zhǔn)線方程是x=±2
5
,求橢圓方程.
分析:(1)由
AB
OP
,可得AB∥OP,從而有△PF1O∽△BOA,可得到相似比
|PF1|
|BO|
=
|FO1|
|OA|
=
c
a
?|PF1|=
bc
a
,再由P(-c,y)?
c2
a2
+
|PF1|
b2
=1?|PF1|=
b2
a2
,得到b=c結(jié)合a2=b2+c2求得離心率.
(2)由準(zhǔn)線方程可知
a2
c
=2
5
?a2=2
5
c
,由
a2=2
5
c
b=c
a2=b2+c2
求得a,b即求得橢圓方程.
解答:解:(1)∵
AB
OP
,
∴AB∥OP,
∴△PF1O∽△BOA,
|PF1|
|BO|
=
|FO1|
|OA|
=
c
a
?|PF1|=
bc
a
,(2分)
P(-c,y)?
c2
a2
+
|PF1|
b2
=1?|PF1|=
b2
a 

∴b=c,(4分)
而a2=b2+c2
a2=2c2?e=
2
2
.(8分)
(2)∵x=±2
5
為準(zhǔn)線方程,
a2
c
=2
5
?a2=2
5
c
,(10分)
a2=2
5
c
b=c
a2=b2+c2
?
a2=10
b2=5
.(12分)
∴所求橢圓方程為
x2
10
+
y2
5
=1
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),這里涉及了離心率,橢圓方程求法,關(guān)鍵是a,b,c三者間的關(guān)系及轉(zhuǎn)化.
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與x2+y2=a2,運(yùn)用上面的原理,圖③中橢圓的面積為
abπ
abπ

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