【題目】如圖,在四面體A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(I)證明:PQ//平面BCD;
(II)若異面直線PQ與CD所成的角為,二面角C-BM-D的大小為,求cos的值。
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(1)連并延長交于,連過作交于,由三角形中位線定理以及全等三角形的性質(zhì)可得 ,結(jié)合條件推導(dǎo)出,由此能證明平面;(2)過作于,作于,連,可證明 平面 ,可得,即為二面角的平面角,由直角三角形的性質(zhì)可求出的值.
試題解析:(1)證明:如圖,連AP并延長交BD于E,連CE,
過M作MN∥BD交AP于N,則AN=NE,NP=PE.
故AP=3PE,從而PQ∥CE.
因PQ平面BCD,CE平面BCD,
故PQ∥平面BCD.
(2)解:過C作CF⊥BD于F,作CR⊥BM于R,連FR.
因AD⊥平面BCD,故平面ABD⊥平面BCD,
故CF⊥平面ABD,因此CF⊥BM,從而BM⊥平面RCF,
所以∠CRF=θ即為二面角C﹣BM﹣D的平面角.
因PQ∥CE,故∠DCE=45°,因此CE即為∠BCD的角平分線.
由 (1)知DE=2MN=2EB,故DC=2BC,
從而BC=1,.
由題意知BC⊥平面ACD,故BC⊥CM.
由題意知,故.
所以=,從而.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角及其平面角,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,E是AB的中點(diǎn),AB=AD=PA=PB=2,BC=1,PC= .
(1)求證:CF∥平面PAB;
(2)求證:PE⊥平面ABCD;
(3)求二面角B﹣PA﹣C的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)中,設(shè)橢圓:的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交,其中一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知,經(jīng)過點(diǎn)且斜率為,直線與橢圓有兩個(gè)不同的和交點(diǎn),請問是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在空間中,設(shè)m,n為兩條不同直線,α,β為兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是( )
A. 若m∥α且α∥β,則m∥β
B. 若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n
C. 若m⊥α且α∥β,則m⊥β
D. 若m不垂直于α,且nα,則m必不垂直于n
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同時(shí)滿足條件:
①x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.
則m的取值范圍是
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C:(5﹣m)x2+(m﹣2)y2=8(m∈R)
(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;
(2)設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差x/oC | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另3天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程
(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的兩組檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠.
(參考公式,)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的圖形是由一個(gè)半徑為2的圓和兩個(gè)半徑為1的半圓組成,它們的圓心分別為O,O1 , O2 . 動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運(yùn)動(dòng)(其中A,O1 , O,O2 , B五點(diǎn)共線),記點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,設(shè)y=|O1P|2 , y與x的函數(shù)關(guān)系為y=f(x),則y=f(x)的大致圖象是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com