Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；（3）

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，題意說(shuō)明在上恒成立，可用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值（可用基本不等式求最值）．

（2）由，對(duì)分類討論，在（1）的基礎(chǔ)上，時(shí)無(wú)極值點(diǎn)，在時(shí)，求出的兩根，可列表得出的正負(fù)，得的單調(diào)性，從而得極值點(diǎn)．

（3）由（2）知，，求出，注意代換后可轉(zhuǎn)化為的代數(shù)式，令，首先有，變?yōu)?/span>的函數(shù)，由求出的取值范圍后可得的取值范圍．

解：（1）定義域?yàn)?/span>，由題意得

因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立

因?yàn)?/span>，所以，所以在上恒成立

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，即，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（2），

①時(shí)，由第（1）問(wèn)可知，函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；

所以無(wú)極值點(diǎn)，即的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0

②時(shí)，令，得：，

當(dāng)時(shí)，，故

列表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值

所以，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2

（3）由題意知，，

因?yàn)?/span>是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)不等實(shí)根

所以，

所以

令，記

由可得：，所以，

又，所以，所以，即，

因?yàn)?/span>，解得：

又，所以在上單調(diào)減

所以

所以的最小值為