【題目】已知是滿足下列條件的集合:①,;②若,則;③若且,則.
(1)判斷是否正確,說明理由;
(2)證明:“”是“”的充分條件;
(3)證明:若,則.
【答案】(1)正確,理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)條件依次確定M元素:,
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明充分性成立,
(3)根據(jù)條件依次確定M元素:
證明如下:
(1)正確,證明如下:
由①,,由②知;
從而,;
由③知;
(2)由②知,若,則,故只需證明任意正整數(shù)即可;
由(1)知,,假設(shè)正整數(shù),則;
由數(shù)學(xué)歸納法知:任意正整數(shù);
即“”是“”的充分條件;
(3)先證:若,則:
由②知,若,∵,∴則;
由③知,且
于是,從而
由②知,,
再證:若,則
由上述證明可知,又,則
于是,同理,從而
∴,于是,
∴,同理
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)和,點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,為軸上的點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作直線與相切,求切線的方程;
(2)存在過點(diǎn)且傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,,若,與分別交于,和,四點(diǎn),且與的面積相等,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),,.記集合,,若、分別表示集合,的元素個(gè)數(shù),則下列結(jié)論不可能的是( )
A.,B.,
C.,D.,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為正方形,四邊形為直角梯形,且, ,平面平面, .
()求證: 平面.
()若二面角為直二面角,
(i)求直線與平面所成角的大。
(ii)棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若,是否存在,使得為偶函數(shù),如果存在,請舉例并證明,如果不存在,請說明理由;
(2)若,判斷在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)已知,存在,對任意,都有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤y與投資x成正比,其關(guān)系如圖甲,B產(chǎn)品的利潤y與投資x的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖乙注:利潤與投資單位為萬元
分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤y表示為投資x的函數(shù)關(guān)系式;
該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)問:怎樣分配這10萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤,最大利潤是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點(diǎn)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)時(shí),求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城,如果會(huì),在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會(huì),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假,并寫出這些命題的否定:
(1)平面直角坐標(biāo)系下每條直線都與x軸相交;
(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都是軸對稱圖形;
(3)存在一個(gè)三角形,它的內(nèi)角和小于180°;
(4)存在一個(gè)四邊形,它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上.
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