設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=
ex
2
（ax2+a+1），其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）當-1＜a＜0時，求f（x）在[-2，-1]上的最值．
考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）由已知得f′(x)=
ex
2
(ax2+2ax+a+1)，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)函數(shù)．
（2）由已知條件推導出x∈[-2，-1]時，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，由此能求出f（x）在[-2，-1]上的最值．
解答： 解：（1）∵f（x）=
ex
2
（ax2+a+1），
∴f′(x)=
ex
2
(ax2+2ax+a+1)，
設(shè)g（x）=ax2+2ax+a+1=a（x+1）2+1，
當a≥0時，g（x）≥1，f′（x）＞0，
即f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
當a＜0時，g（x）=0的兩根分別為
-a±
-a
a
，
且
-a+
-a
a
＜
-a-
-a
a
，
當x∈(
-a+
-a
a
，
-a-
-a
a
)時，g（x）＞0
即f'（x）＞0
當x∈(-∞，
-a+
-a
a
)∪(
-a-
-a
a
，+∞)時，g（x）＜0
即f'（x）＜0，
∴f（x）在（
-a+
-a
a
，
-a-
-a
a
）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
在（-∞，
-a+
-a
a
）和（
-a-
-a
a
，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）當-1＜a＜0時，
a+
-a
a
=-1-
1
-a
＜-2，
-a-
-a
a
=-1+
1
-a
＞-1，
∴x∈[-2，-1]時，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
故x=-2時，f（x）min=f（-2）=
5a+1
2e2
，
x=-1時，f(x)max=f(-1)=
2a+1
2e
．
點評：本題主要考查最值的求法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3x+a
3x-1
．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當a為何值時，f（x）為奇函數(shù)；
（3）討論（2）中函數(shù)的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2（
3
2
sinx+cos2x-
3
2
）．
（1）求f（x）定義域及值域；
（2）若f（x0）=2log2（
2
-1）-
1
2
，求x0的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，若a5=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a9-n（n＜9，n∈N+），若a10=0則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）根據(jù)上述規(guī)律，若a15=0，則有怎樣的等式？并給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A（-1，0），B（1，0）平面內(nèi)兩點G、M同時滿足
①
GA
+
GB
+
GC
=
0
；
②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|；
③|
GM
|∥|
AB
|；
求△ABC的頂點C的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=
2
．
（Ⅰ）若
a
與
b
的夾角為60°，求|
a
+
b
|； 
（Ⅱ）若
a
-
b
與
a
垂直，求
a
與
b
的夾角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|=4．
（1）當
a
⊥
b
時，求|
a
+
b
|；
（2）當
a
∥
b
時，求
a
•
b
；
（3）若
a
+2
b
與3
a
-
b
垂直，求向量
a
和
b
的夾角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

閱讀如圖程框圖，則輸出的結(jié)果是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2x的焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若
1
|AF|
-
1
|BF|
=1，則直線l的傾斜角θ=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案