Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}是公差大于0的等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=9，且2a₁，a₃-1，a₄+1構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2^n-1（n∈N^*），設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：T_n＜6．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列，列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）推導(dǎo)出b_n=（2n-1）•2^1-n=（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，由此能證明T_n＜6．

解答 解：（1）∵公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和S₃=9，得到a₂=3，
且2a₁，a₃-1，a₄+1構(gòu)成等比數(shù)列，
∴得到未知數(shù)a₂與d的方程組：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=9}\\{（{a}_{2}+2d+1）（2{a}_{2}-2d）=（{a}_{2}+d-1）^{2}}\\{{a}_{2}=3}\end{array}\right.$，
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
證明：（2）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2^n-1（n∈N^*），
∴$\frac{2n-1}{_{n}}={2}^{n-1}$，∴b_n=（2n-1）•2^1-n=（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，
則T_n=2•$\frac{1}{2}$+6$•\frac{1}{{2}^{2}}$+10•$\frac{1}{{2}^{3}}$+14•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2$•\frac{1}{{2}^{2}}$+6$•\frac{1}{{2}^{3}}+10•\frac{1}{{2}^{4}}+14•\frac{1}{{2}^{5}}$…+（4n-2）$•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}$T_n=1+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$（4n-2）•\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$＜6．
∴T_n＜6．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于6的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．