【題目】在平面直角坐標系中,已知直線和圓是直線上一點,過點作圓的兩條切線,切點分別為.

1)若,求點坐標;

2)若圓上存在點,使得,求點的橫坐標的取值范圍;

3)設(shè)線段的中點為軸的交點為,求線段長的最大值.

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1)先求出到圓心的距離為,設(shè),解方程即得解;(2)設(shè),若圓上存在點,使得,分析得到,即,解不等式得解;(3)設(shè),可得所在直線方程:,點的軌跡為:,根據(jù)求出最大值得解.

1)若,則四邊形為正方形,

到圓心的距離為

在直線上,設(shè)

,解得,故;

2)設(shè),若圓上存在點,使得

作圓的切線,,∴,∴,

在直角三角形中,∵,

,即,∴,

,解得,

∴點橫坐標的取值范圍為:;

3)設(shè),則以為直徑的圓的方程為

化簡得,與聯(lián)立,

可得所在直線方程:,

聯(lián)立,得,

的坐標為

可得點的軌跡為:,

圓心,半徑.其中原點為極限點(也可以去掉).

由題意可知,∴.

.

∴線段的最大值為.

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