【題目】已知圖1中,四邊形 ABCD是等腰梯形,AB∥CD,EF∥CD,DM⊥AB于M、交EF于點N,DN=3 ,MN= ,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,記折起后C、D為C'、D'且使D'M=2 ,如圖2示.
(Ⅰ)證明:D'M⊥平面ABFE;,
(Ⅱ)若圖1中,∠A=60°,求點M到平面AED'的距離.
【答案】解:(Ⅰ)∵AB∥CD,EF∥CD,DM⊥AB, ∴DM⊥EF,即D'N⊥EF,MN⊥EF,
又D'N∩MN=N,D′M平面D′MN,D′N平面D′MN,
∴EF⊥平面MND',又∵D′M平面D′MN,
∴EF⊥D'M,
∵D′M=2 ,D′N=3 ,MN= ,
∴D'M2+MN2=D'N2 , ∴D'M⊥MN,
又MN∩EF=N,MN平面ABFE,EF平面ABFE,
∴D'M⊥平面ABFE.
(Ⅱ) 在Rt△ADM中,∵∠A=60°,DN=4 ,
∴AM=4,A=8,
∵EF∥AB,∴ ,
∴DE=6,AE=2,
∴VD′﹣AEM= = =4 ,
在Rt△AD′M中,AD′= =2 ,
∴D′E2+AE2=AD′2 ,
∴D'E⊥AE, ,
設(shè)點M到平面AED'的距離為h,
則VM﹣AED′= S△AED′h=2h,
∴2h=4 ,解得 ,
∴點M到平面AED'的距離為 .
【解析】(I)由EF⊥平面D′MN得D′M⊥EF,由勾股定理的逆定理得D′M⊥MN,從而D′M⊥平面ABFE;(II)根據(jù)三角形和相似三角形知識求出各棱長,根據(jù)VD′﹣AEM=VM﹣AED′列方程解出M到平面AED'的距離.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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【題目】記f(n)為最接近 (n∈N*)的整數(shù),如f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=2,f(5)=2,…,若 + + +…+ =4054,則正整數(shù)m的值為( )
A.2016×2017
B.20172
C.2017×2018
D.2018×2019
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直. (Ⅰ)試比較20162017與20172016的大小,并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣k有兩個不同的零點x1 , x2 , 證明:x1x2>e2 .
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【題目】設(shè)函數(shù),則f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ ),則( )
A.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
B.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
C.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
D.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t是參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=8cos(θ﹣ ).
(1)求曲線C2的直角坐標方程,并指出其表示何種曲線;
(2)若曲線C1與曲線C2交于A,B兩點,求|AB|的最大值和最小值.
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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的表面積為( )
A.24+8 +8
B.20+8 +4 ??
C.20+8 +4
D.20+4 +4
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【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,已知點R的極坐標為(2 , ),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).
(1)求點R的直角坐標,化曲線C的參數(shù)方程為普通方程;
(2)設(shè)P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值,及此時P點的直角坐標.
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【題目】已知f(x)=( xinωx+cosωx)cosωx﹣ ,其中ω>0,若f(x)的最小正周期為4π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)銳角三角形ABC中,(2a﹣c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項和為Sn , 則下列結(jié)論正確的是( )
A.若a1+a2>0,則a1+a3>0
B.若a1+a3>0,則a1+a2>0
C.若a1>0,則S2017>0
D.若a1>0,則S2016>0
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