Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}（n∈{N^*}）$，函數(shù)f（x）=ax³+btanx，若f（a₄）=9，則f（a₁）+f（a₂₀₁₇）的值是-18．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=ax³+btanx，可得f（-x）+f（x）=0．由${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}（n∈{N^*}）$，可得：a_n+6=a_n．即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+btanx，∴f（-x）+f（x）=-ax³-btanx+ax³+btanx=0．
∵${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}（n∈{N^*}）$，∴a₃=2-1=1，
同理可得a₄=-1，a₅=-2，a₆=-1，a₇=1，a₈=1，…．
∴a_n+6=a_n．
∴a₂₀₁₇=a_6×336+1=a₁．
若f（a₄）=9，∴f（-1）=9．∴f（1）=-9
則f（a₁）+f（a₂₀₁₇）=2f（a₁）=-18．
故答案為：-18．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、數(shù)列的周期性、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．