【題目】直線1通過點P(1,3)且與兩坐標軸的正半軸交于A、B兩點.
(1)直線1與兩坐標軸所圍成的三角形面積為6,求直線1的方程;
(2)求OA+OB的最小值;
(3)求PAPB的最小值.

【答案】
(1)解:設(shè)直線l的方程為y﹣3=k(x﹣1)(k<0),

由x=0,得y=3﹣k,由y=0,得x= ,

=6,解得:k=﹣3


(2)解:OA+OB=3﹣k+1﹣ =4+(﹣k)+(﹣

當且僅當﹣k=﹣ ,即k=﹣ 時上式“=”成立


(3)解:設(shè)直線l的傾斜角為α,則它的方程為 (t為參數(shù)),

由A、B是坐標軸上的點,不妨設(shè)yA=0,xB=0,

∴0=3+tsinα,即PA=|t|= ,

0=3+tcosα,即PB=|t|=﹣

故PAPB= =﹣ .∵90°<α<180°,

∴當2α=270°,即α=135°時,PAPB有最小值.

∴直線方程為 (t為參數(shù)),化為普通方程即x+y﹣4=0


【解析】(1)設(shè)出直線l的方程為y﹣3=k(x﹣1)(k<0),求出直線在兩坐標軸上的截距,代入三角形面積公式得答案;(2)寫出OA+OB的含有k的代數(shù)式,利用基本不等式求得最值;(3)設(shè)出直線l的參數(shù)方程,利用t的幾何意義求出PA,PB然后利用三角函數(shù)求最值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的截距式方程,需要了解直線的截距式方程:已知直線軸的交點為A,與軸的交點為B,其中才能得出正確答案.

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